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高中 - 高一 - 數學  輔導材料

高一數學 | 一篇文章,掌握函數圖像

來源:

函數的圖像是高考的必考點,對于研究函數的單調性、奇偶性以及最值(值域)、零點有舉足輕重的作用,但是很多同學看到眼花繚亂的函數解析式,就已經暈頭轉向了,再去畫圖像,不是這里錯,就是那里有問題,圖像也畫的亂七八糟,更甭提利用圖像去解題了!

 

在小編看來,畫函數圖像有以下幾步:


首先,觀察是否是基本初等函數(也就是我們在課本中學過的那幾類函數),如果是,那就可以畫了;


如果不是,繼續第二步,看看是否是經過一系列函數變換的,比如:翻折變換,對稱變換,伸縮變換,平移變換等,如果是,那就根據變換的規律畫出圖像,如果還不是,那基本這個函數圖像也不需要你獨自畫出來了,那種題目基本會考察選擇題,能從4個選項中選擇出來就可以了?。ń裉觳谎芯磕欠N函數圖像)


下面,給大家整理一下基本初等函數的圖像以及函數變換的規律,希望大家能學明白!


一、基本初等函數的圖像


1.       一次函數



性質:一次函數圖像是直線,當k>0時,函數單調遞增;當k<0時,函數單調遞減


2.       二次函數


性質:二次函數圖像是拋物線,a決定函數圖像的開口方向,判別式b^2-4ac決定了函數圖像與x軸的交點,對稱軸兩邊函數的單調性不同。



3.       反比例函數

性質:反比例函數圖像是雙曲線,當k>0時,圖像經過一、三象限;當k<0時,圖像經過二、四象限。要注意表述函數單調性時,不能說在定義域上單調,而應該說在(-∞,0),(0,∞)上單調。


4.       指數函數


當0<a<b<1<c<d時,指數函數的圖像如下圖


不同底的指數函數圖像在同一個坐標系中時,一般可以做直線x=1,與各函數的交點,根據交點縱坐標的大小,即可比較底數的大小。


5.       對數函數



當底數不同時,對數函數的圖像是這樣變換的


6.       冪函數y=x^a


性質:

先看第一象限,即x>0時,當a>1時,函數越增越快;當0<a<1時,函數越增越慢;當a<0時,函數單調遞減;然后當x<0時,根據函數的定義域與奇偶性判斷函數圖像即可。


7.       對勾函數


對于函數y=x+k/x,當k>0時,才是對勾函數,可以利用均值定理找到函數的最值。


二、函數圖像的變換


注意:對于函數圖像的變換,有的時候,看到解析式,可能會有兩種以上的變換,尤其是針對x軸上的,那么此時,一定要根據上面的規則,判斷好順序,否則順序錯了,可能就沒辦法經過變換得到了!


例如:畫出函數y=ln|2-x|的圖像


通過研究這個函數解析式,我們知道此函數是由基本初等函數y=lnx通過變換而來,那么這個函數經過了幾步變換呢?變換的順序又是如何?下面我們一起來看一看


通過解析式x上附加的東西,我們會發現,會有對稱變換,x前面加了負號,還有翻折變換,x上面還有絕對值,還有平移變換,前面加了一個2,既然有3種變換,那么順序如何呢?牢記住一點:針對x軸上的變換,那就一定要看x這個符號有啥變化。


所以,我們可以得出:第一步,翻折變換;第二步,對稱變換;第三步,平移變換。


有的同學說,第一步是對稱變換,也就是先在x上加負號,但是接下來的話,再進行翻折變換,就相當于在-x上加絕對值了,而這個并不是我們學過的規律,所以后面就無法進行變換了,這樣也就錯了。同學們一定要切記哈!


當然,如果同學們能對這四種變換很熟悉的話,那就可以先對解析式進行變形,化為y=ln|x-2|,這樣只經過兩步變換即可了!下面是這個函數的圖像,


第一步:先畫出函數y=lnx的圖像

第二步:進行翻折變換,得到函數y=ln|x|的圖像

第三步:進行對稱變換,得到函數y=ln|-x|的圖像

第四步:進行對稱變換,得到函數y=ln|2-x|的圖像

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